第九章 垛积招差

第九章 垛积招差

第三节 垛积术与招差术

杨辉的二阶等差级数求和解法通常叫垛积术,朱世杰则把垛积术的研究推向最高峰。《四元玉鉴》卷中“茭草形段”、“如象招数”和卷下“果垛叠藏”三门33题中,都是已知高阶等差级数总和求其项数的问题。为了解决这些问题,需要按照各自的求和公式列出一个高次方程来,然后用“正负开方术”求其根。在这些问题中,朱世杰提出了一系列三角垛公式:藏书网

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显然,当p=1,2,3,4,5时便是上述三角垛公式。朱世杰还解决了以四角垛之积为一般项的一系列高阶等差级数求和问题,以及岚峰形垛等更复杂的级数求和问题。

郭守敬(公元1231—1316年)、王恂(公元1235—1281年)等元朝天算学家曾用招差术推算日、月的按日经行度数。朱世杰也把用招差术解决高阶等差级数求和问题发展到十分完备的程度。“如象招数”门第5问附录中:“(今有官司)依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵。今招一十五方,问招兵几何?”“术曰:求得上差二十七、二差三十七、三差二十四、下差六。求兵者:今招为上积,又今招减一为茭草底子积为二积,又今招减二为三角底子积为三积,又今招减三为三角落一积为下积。以各差乘各积,四位并之,即招兵数也。”设日数为x,f(x)为第x日共招兵数,则逐日招兵数为(2+x)3,当x=1,2,3,4......时,f(x)之值及逐级差如下:

即为15日共招兵人数。