第十章 不定问题

第十章 不定问题

不定问题在中国古代数学中占有重要地位。我们分勾股数组、五家共井、百鸡问题、同余式问题等几个方面阐述这一成就。

第一节 勾股数组

勾股定理x2+y2=z2本身就是一个不定问题,显然它有无数组解。满足该定理的有理数组(a,b,c)通常称为勾股数组,西方称为毕达哥拉斯数组。如何表示出勾股数组,是两千多年来数学家们关注的问题。公元前五、六世纪,毕达哥拉斯设一奇数为2a+1=m2,m为正整数,那么a=1?2(m2-1)、m、a+1=1?2(m2+1)就是勾股数组;后来柏拉图以2m、m2-1、m2+1为勾股数组公式,欧几里得以√uv、1?2(u-v)、1?2(u+v)或mnpq、1?2mn(p2-q2)、1?2mn(p2+q2)表示勾股数组,显然这些表达式并未给出全部勾股数组。

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世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》勾股章“二人同所立”问。问题是:“今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行,甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何?”显然甲行c+a,乙行b,而(c+a):b=m:n=7:3。《九章》先求出南行率即勾率a=1?2(m2-n2),东行率即股率b=mn,邪行率即弦率c=1?2(m2+n2)。然后根据已知南行步数,用今有术求出东行和邪行步数。这里勾、股、弦三率便是勾股数的通解表示式,其为通解的条件是m、n为互素的奇数,《九章》的两个例题都符合此条件。国外被认为最先给出勾股数组通解公式的是希腊的丢番都,其公式a=2mc/(m2+1),b=ma-c=(m2-1)×c/(m2+1),是若令m=u/v,c=u2+v2,则可得到与《九章》等价的公式。丢番都大约与刘徽同时,比《九章》晚了三、四百年。www?

《九章算术》已知勾股差与弦求勾股的问题后来也发展为勾股差率与弦率的形式: